Inference with Tensor Network

This example demonstrates how to define stabilizers, encode data qubits measure syndromes, and use tensor network to infer the most likely error^[Ferris].

We take the $3\times 3$ surface code as an example, and use Yao.jl to verify the error correction circuit.

Definition of Stabilizers

using TensorQEC, TensorQEC.Yao
surface_stabilizers = stabilizers(SurfaceCode(3,3))

8-element Vector{PauliString{9}}:
 XXIXXIIII
 IIIIXXIXX
 IIXIIXIII
 IIIXIIXII
 IZZIZZIII
 IIIZZIZZI
 ZZIIIIIII
 IIIIIIIZZ

Then we can generate the encoding circuits of the stabilizers by encode_stabilizers.

encoder, data_qubits, bimatrix = encode_stabilizers(surface_stabilizers)
vizcircuit(encoder)

where encoder is the encoding circuit, data_qubits are the qubits that we should put initial qubtis in, and bimatrix is a Bimatrix instance that records information of the encoding circuit. For more details on Bimatrix, please check ^[Gottesman].

The process of obtaining the encoding circuit requires adjusting the generators of the stabilizer group. The new generators are

TensorQEC.bimatrix2stabilizers(bimatrix)

8-element Vector{PauliString{9}}:
 XXIIIXXXX
 IIIIXXIXX
 IIXIIXIII
 IIIXIIXII
 ZZIIIIIII
 IIIZZIZIZ
 ZIZIZZIII
 IIIIIIIZZ

Circuit Simulation with Yao.jl

Create a random qubit state to be encoded.

data = rand_state(1)

ArrayReg{2, ComplexF64, Array...}
    active qubits: 1/1
    nlevel: 2

We use place_qubits to create a quantum register. data_qubits records the position of data qubits, and the rest ancilla qubits are in the $|0\rangle$ state.

logic_state = place_qubits(data, data_qubits, nqubits(encoder))

ArrayReg{2, ComplexF64, Array...}
    active qubits: 9/9
    nlevel: 2

Apply the encoding circuits.

apply!(logic_state, encoder)

ArrayReg{2, ComplexF64, Array...}
    active qubits: 9/9
    nlevel: 2

Apply an X error on the third qubit.

apply!(logic_state, put(9, 3 => X))

ArrayReg{2, ComplexF64, Array...}
    active qubits: 9/9
    nlevel: 2

Measure the Syndrome and Inference the Error Probability

We first measure the stabilizers to get the error syndrome by measure_syndrome!. 1 means the stabilizer is not violated, and -1 means the stabilizer is violated. Though the stabilizers are not the same as the initial stabilizers, we can't directly measure the current stabilizers to get the syndrome. The reason is that there may be some long range term in the current stabilizers, which can' be measrued physically. So we still measure the initial stabilizers to get the syndrome.

measure_outcome = measure_syndrome!(logic_state, surface_stabilizers)

8-element Vector{Int64}:
  1
  1
  1
  1
 -1
  1
  1
  1

Then we transform the syndrome in the current stabilizers by transformed_sydrome_dict. The syndrome is transformed to 0 if the measurement outcome is 1, and 1 if the measurement outcome is -1.

syn_dict = transformed_sydrome_dict(measure_outcome, bimatrix)

Dict{Int64, Bool} with 8 entries:
  5 => 0
  4 => 0
  6 => 1
  7 => 0
  2 => 0
  8 => 0
  3 => 0
  1 => 0

Now we generate the tensor network for syndrome inference by clifford_network.

tensor_network = clifford_network(encoder)

CliffordNetwork{Float64}(TensorInference.Factor{Float64}[TensorInference.Factor{Float64, 2}((10, 1), [0.9999999999999998 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.9999999999999998; 0.0 0.0 -0.9999999999999998 0.0; 0.0 0.9999999999999998 0.0 0.0]), TensorInference.Factor{Float64, 2}((11, 5), [0.9999999999999998 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.9999999999999998; 0.0 0.0 -0.9999999999999998 0.0; 0.0 0.9999999999999998 0.0 0.0]), TensorInference.Factor{Float64, 2}((12, 3), [0.9999999999999998 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.9999999999999998; 0.0 0.0 -0.9999999999999998 0.0; 0.0 0.9999999999999998 0.0 0.0]), TensorInference.Factor{Float64, 2}((13, 4), [0.9999999999999998 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.9999999999999998; 0.0 0.0 -0.9999999999999998 0.0; 0.0 0.9999999999999998 0.0 0.0]), TensorInference.Factor{Float64, 4}((14, 15, 9, 7), [1.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0;;; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 1.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0;;; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 1.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0;;; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 1.0 0.0 0.0 0.0;;;; 0.0 1.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0;;; 0.0 0.0 0.0 0.0; 1.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0;;; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 1.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0;;; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 1.0 0.0 0.0;;;; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 1.0 0.0;;; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 1.0; 0.0 0.0 0.0 0.0;;; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 -1.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0;;; 0.0 0.0 1.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0;;;; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 1.0;;; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 -1.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0;;; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 1.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0;;; 0.0 0.0 0.0 1.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0]), TensorInference.Factor{Float64, 4}((16, 17, 14, 8), [1.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0;;; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 1.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0;;; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 1.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0;;; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 1.0 0.0 0.0 0.0;;;; 0.0 1.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0;;; 0.0 0.0 0.0 0.0; 1.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0;;; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 1.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0;;; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 1.0 0.0 0.0;;;; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 1.0 0.0;;; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 1.0; 0.0 0.0 0.0 0.0;;; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 -1.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0;;; 0.0 0.0 1.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0;;;; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 1.0;;; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 -1.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0;;; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 1.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0;;; 0.0 0.0 0.0 1.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0]), TensorInference.Factor{Float64, 4}((18, 19, 10, 2), [1.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0;;; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 1.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0;;; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 1.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0;;; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 1.0 0.0 0.0 0.0;;;; 0.0 1.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0;;; 0.0 0.0 0.0 0.0; 1.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0;;; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 1.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0;;; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 1.0 0.0 0.0;;;; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 1.0 0.0;;; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 1.0; 0.0 0.0 0.0 0.0;;; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 -1.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0;;; 0.0 0.0 1.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0;;;; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 1.0;;; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 -1.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0;;; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 1.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0;;; 0.0 0.0 0.0 1.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0]), TensorInference.Factor{Float64, 4}((20, 21, 18, 15), [1.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0;;; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 1.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0;;; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 1.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0;;; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 1.0 0.0 0.0 0.0;;;; 0.0 1.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0;;; 0.0 0.0 0.0 0.0; 1.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0;;; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 1.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0;;; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 1.0 0.0 0.0;;;; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 1.0 0.0;;; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 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0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 1.0 0.0 0.0;;;; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 1.0 0.0;;; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 1.0; 0.0 0.0 0.0 0.0;;; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 -1.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0;;; 0.0 0.0 1.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0;;;; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 1.0;;; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 -1.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0;;; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 1.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0;;; 0.0 0.0 0.0 1.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0]), TensorInference.Factor{Float64, 4}((36, 37, 13, 21), [1.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0;;; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 1.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0;;; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 1.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0;;; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 1.0 0.0 0.0 0.0;;;; 0.0 1.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0;;; 0.0 0.0 0.0 0.0; 1.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0;;; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 1.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0;;; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 1.0 0.0 0.0;;;; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 1.0 0.0;;; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 1.0; 0.0 0.0 0.0 0.0;;; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 -1.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0;;; 0.0 0.0 1.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0;;;; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 1.0;;; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 -1.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0;;; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 1.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0;;; 0.0 0.0 0.0 1.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0; 0.0 0.0 0.0 0.0])], [26, 19, 34, 36, 32, 35, 37, 31, 33], [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9], 37)

Define the prior error probability of each physical qubit. Here we assume the error probability of each qubit is the same. There are probability of 85% that the qubits are correct, and 5% that there is an X error, Y error, or Z error respectively.

prior = fill([0.85, 0.05, 0.05, 0.05], 9)

9-element Vector{Vector{Float64}}:
 [0.85, 0.05, 0.05, 0.05]
 [0.85, 0.05, 0.05, 0.05]
 [0.85, 0.05, 0.05, 0.05]
 [0.85, 0.05, 0.05, 0.05]
 [0.85, 0.05, 0.05, 0.05]
 [0.85, 0.05, 0.05, 0.05]
 [0.85, 0.05, 0.05, 0.05]
 [0.85, 0.05, 0.05, 0.05]
 [0.85, 0.05, 0.05, 0.05]

We can use the syndrome_inference function to infer the error probability.

pinf = syndrome_inference(tensor_network, syn_dict, prior)

Dict{Int64, Vector{Float64}} with 9 entries:
  5 => [0.944546, 0.055454]
  4 => [0.969398, 0.0306025]
  6 => [0.99312, 0.00688033]
  7 => [0.999994, -5.56561e-6]
  2 => [0.978016, -0.0219838]
  9 => [0.936903, 0.0547069, 0.00156424, 0.00682565]
  8 => [0.994764, 0.00523646]
  3 => [0.527763, 0.472237]
  1 => [0.999636, 0.000364208]

Generate the Pauli string for error correction. correction_pauli_string generates the error Pauli string in the coding space. To correct the error, we still need to transform it to the physical space by clifford_simulate. The corretion pauli string here is $X_6$. Since there is a stabilizer $X_3X_6$, applying $X_3$ or $X_6$ on the coding space are equivalent.

ps_ec_phy = clifford_simulate(correction_pauli_string(9, syn_dict, pinf), encoder).output

IIIIIXIII

Or we can simply use the inference function to infer error pauli string in one function.

ps_ec_phy = inference(measure_outcome, bimatrix, encoder, prior)

IIIIIXIII

Error Correction

Apply the error correction.

apply!(logic_state, Yao.YaoBlocks.Optimise.to_basictypes(ps_ec_phy))

ArrayReg{2, ComplexF64, Array...}
    active qubits: 9/9
    nlevel: 2

Finally, we can measure the stabilizers after error correction to check whether the error is corrected.

measure_syndrome!(logic_state, surface_stabilizers)

8-element Vector{Int64}:
 1
 1
 1
 1
 1
 1
 1
 1

And we can calculate the fidelity after error correction to check whether the initial state is recovered.

apply!(logic_state, encoder')
fidelity_after = fidelity(density_matrix(logic_state, data_qubits), density_matrix(data))

0.9999999999999997

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FerrisFerris, A. J.; Poulin, D. Tensor Networks and Quantum Error Correction. Phys. Rev. Lett. 2014, 113 (3), 030501. https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.113.030501.
GottesmanGottesman, D. (1997). Stabilizer Codes and Quantum Error Correction (arXiv:quant-ph/9705052). arXiv. http://arxiv.org/abs/quant-ph/9705052